Дифференциальное уравнение — уравнения, которое связывает значение любой функции и значение ее производной в одной точке.
Дифференциальное уравнение состоит из неизвестной функции, ее производной и независимой переменной; однако не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением.
Например, f`(x) = f (f (x)) не является дифференциальным уравнением. Также, дифференциальное уравнение может вообще не содержать неизвестную функцию, некоторые её производные и свободные переменные, но обязано содержать хотя бы одну из производных.
Порядок, или степень дифференциального уравнения — наибольший порядок производных, входящих в него.
Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные y'(x),y”(x),…,y(n)(x) до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению.
Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные, в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными, в которых входящие функции зависят от многих переменных. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения, включающие случайные процессы.
Обыкновенные дифференциальные уравнения или
Это уравнения вида, где y=y(x) — неизвестная функция, зависящая от независимой переменной Х, штрих означает дифференцирование по Х. Число n называется порядком дифференциального уравнения.
Дифференциальные уравнения в частных производных
Это уравнения, которые содержат неизвестные функции от нескольких переменных и их частные производные. Общий вид таких уравнений можно представить в виде:
где X1, X2, … , Xm — независимые переменные, а — Z=Z(X1,X2, … , Xm) – функция этих переменных.
Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени.
Подготовила Лилия Атамась
